【3x3矩阵怎么求伴随矩阵】在矩阵运算中，伴随矩阵（Adjoint Matrix）是一个重要的概念，尤其在求逆矩阵时有着广泛的应用。伴随矩阵是原矩阵的代数余子式矩阵的转置，因此也被称为余子式矩阵的转置。本文将详细讲解如何求一个3×3矩阵的伴随矩阵，并通过表格形式进行总结。
一、伴随矩阵的定义
对于一个n×n的矩阵A，其伴随矩阵记为adj(A)，是由A的每个元素的代数余子式组成的矩阵的转置。具体来说：
$$
\text{adj}(A) = \begin{bmatrix}
C_{11} & C_{21} & C_{31} \\
C_{12} & C_{22} & C_{32} \\
C_{13} & C_{23} & C_{33}
\end{bmatrix}
$$
其中，$ C_{ij} $ 表示元素 $ a_{ij} $ 的代数余子式，计算公式为：
$$
C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}
$$
其中，$ M_{ij} $ 是去掉第i行和第j列后得到的2×2矩阵的行列式。
二、3x3矩阵求伴随矩阵的步骤
1. 写出原矩阵：设原矩阵为：
$$
A = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{bmatrix}
$$
2. 计算每个元素的代数余子式：对每个元素 $ a_{ij} $，计算其对应的代数余子式 $ C_{ij} $。
3. 组成余子式矩阵：将所有代数余子式按位置排列，形成一个3×3的余子式矩阵。
4. 转置余子式矩阵：将余子式矩阵转置，得到伴随矩阵。
三、示例说明
假设我们有如下3×3矩阵：
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{bmatrix}
$$
我们来逐步计算其伴随矩阵。
1. 计算每个元素的代数余子式
- $ C_{11} = (+1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} = 5 \cdot 9 - 6 \cdot 8 = 45 - 48 = -3 $
- $ C_{12} = (-1)^{1+2} \cdot \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} = -(4 \cdot 9 - 6 \cdot 7) = -(36 - 42) = 6 $
- $ C_{13} = (+1)^{1+3} \cdot \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix} = 4 \cdot 8 - 5 \cdot 7 = 32 - 35 = -3 $
- $ C_{21} = (-1)^{2+1} \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} = -(2 \cdot 9 - 3 \cdot 8) = -(18 - 24) = 6 $
- $ C_{22} = (+1)^{2+2} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} = 1 \cdot 9 - 3 \cdot 7 = 9 - 21 = -12 $
- $ C_{23} = (-1)^{2+3} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{vmatrix} = -(1 \cdot 8 - 2 \cdot 7) = -(8 - 14) = 6 $
- $ C_{31} = (+1)^{3+1} \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{vmatrix} = 2 \cdot 6 - 3 \cdot 5 = 12 - 15 = -3 $
- $ C_{32} = (-1)^{3+2} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{vmatrix} = -(1 \cdot 6 - 3 \cdot 4) = -(6 - 12) = 6 $
- $ C_{33} = (+1)^{3+3} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{vmatrix} = 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = 5 - 8 = -3 $
2. 构建余子式矩阵
$$
C = \begin{bmatrix}
-3 & 6 & -3 \\
6 & -12 & 6 \\
-3 & 6 & -3
\end{bmatrix}
$$
3. 转置余子式矩阵，得到伴随矩阵
$$
\text{adj}(A) = C^T = \begin{bmatrix}
-3 & 6 & -3 \\
6 & -12 & 6 \\
-3 & 6 & -3
\end{bmatrix}
$$
四、总结表格
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 写出原3×3矩阵 |
| 2 | 对每个元素计算代数余子式 |
| 3 | 构造余子式矩阵 |
| 4 | 将余子式矩阵转置，得到伴随矩阵 |
五、注意事项
- 伴随矩阵的计算需要仔细处理符号（$(-1)^{i+j}$）。
- 若矩阵的行列式为0，则该矩阵不可逆，但伴随矩阵仍然存在。
- 伴随矩阵与原矩阵的关系为：$ A \cdot \text{adj}(A) = \text{det}(A) \cdot I $，其中I为单位矩阵。
通过以上步骤和示例，可以清晰地掌握如何求解3×3矩阵的伴随矩阵。希望这篇文章对你理解伴随矩阵有所帮助！