【二次函数的求根公式】在数学中，二次函数是形如 $ y = ax^2 + bx + c $ 的函数，其中 $ a \neq 0 $。求解二次函数的根，即找到使得 $ y = 0 $ 的 $ x $ 值，是解决许多实际问题的重要方法。根据代数理论，二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的求根公式为：
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
该公式通过配方法推导而来，能够适用于所有形式的二次方程，并且能准确地给出其根的情况。
一、公式解析
- $ a $：二次项的系数，决定了抛物线的开口方向和宽窄。
- $ b $：一次项的系数，影响图像的对称轴位置。
- $ c $：常数项，表示图像与 $ y $ 轴的交点。
- 判别式 $ D = b^2 - 4ac $：用于判断根的性质：
- 若 $ D > 0 $：有两个不相等的实数根；
- 若 $ D = 0 $：有一个实数根（重根）；
- 若 $ D < 0 $：无实数根，有两个共轭复数根。
二、使用步骤
1. 确定二次方程的标准形式 $ ax^2 + bx + c = 0 $；
2. 计算判别式 $ D = b^2 - 4ac $；
3. 根据判别式的值，选择相应的根的形式；
4. 代入求根公式，计算出两个根。
三、常见情况总结表
| 判别式 $ D $ | 根的情况 | 实际含义 |
| $ D > 0 $ | 两个不相等的实数根 | 抛物线与 $ x $ 轴有两个交点 |
| $ D = 0 $ | 一个实数根（重根） | 抛物线与 $ x $ 轴相切 |
| $ D < 0 $ | 两个共轭复数根 | 抛物线与 $ x $ 轴无交点 |
四、应用举例
例题：求方程 $ 2x^2 + 5x + 2 = 0 $ 的根。
解：
- $ a = 2 $, $ b = 5 $, $ c = 2 $
- 判别式 $ D = 5^2 - 4 \times 2 \times 2 = 25 - 16 = 9 $
- 因为 $ D > 0 $，所以有两个不相等的实数根
代入公式：
$$
x = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{2 \times 2} = \frac{-5 \pm 3}{4}
$$
得到两个解：
- $ x_1 = \frac{-5 + 3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} $
- $ x_2 = \frac{-5 - 3}{4} = \frac{-8}{4} = -2 $
因此，方程的两个根为 $ x = -\frac{1}{2} $ 和 $ x = -2 $。
五、小结
二次函数的求根公式是解决二次方程的关键工具，它不仅能够帮助我们快速找到方程的解，还能通过判别式判断根的类型。掌握这一公式的使用，对于理解二次函数的图像特征以及解决实际问题具有重要意义。